Ghana
Urodzony w Kumasi Asamoah swoją przygodę z piłką rozpoczął w małym klubie w Ghanie, z którego został wypatrzony przez skauta szwajcarskiej Bellinzony, którą reprezentował w drużynach młodzieżowych. Dobra postawa Kwadwo zaowocowała wypożyczeniem do Primavery Torino. Tym sposobem w wieku 20 lat Asamoah trafił na Półwysep Apeniński.
W czerwcu 2008 roku podpisał swój pierwszy profesjonalny kontrakt z Udinese. Przez lata szlifował swój talent i dał się poznać jako bardzo uniwersalny zawodnik - może występować w środku pomocy, na skrzydle i jako lewy obrońca. Ponadto jest szybki i dobry technicznie, czyli posiada to, co kibice lubią najbardziej.
Dobre występy na mundialu w RPA i stale rosnąca forma zaowocowała po kilku latach gry w Udinese transferem do Juventusu Turyn. Stara Dama zakupiła Asamoah w lipcu 2012 roku i piłkarz dosyć szybko stał się ważną postacią w zespole prowadzonym wówczas przez Antonio Conte. Przez pierwsze dwa sezony gry w Juventusie Kwadwo wystąpił w 83 spotkaniach, strzelając pięć bramek. Sezony 14/15 i 15/16 nie były dla piłkarza zbyt udane, ponieważ borykał się z wieloma kontuzjami.
W styczniu 2018 roku Kwadwo Asamoah poinformował, że nie wydłuży swojej wygasającej w czerwcu umowy ze Starą Damą. Drugiego lipca 2018 roku został oficjalnie zaprezentowany jako piłkarz Interu Mediolan. W październiku 2020 roku klub poinformował o przedwczesnym rozwiązaniu umowy z zawodnikiem.