Alessandro Bastoni urodził się 13 kwietnia 1999 roku w Casalmaggiore we Włoszech. W piłkę zaczął grać w lokalnym klubue Cannatese, gdzie jego ojciec był renerem. W wieku 7 lat dołączył do akademii Atalanty Bergamo, gdzie spędził kolejne 10 lat.
Bastoni występuje na środku obrony, gdzie jego atutem są warunki fizyczne. Jest on bardzo wysoki, gdyż mierzy aż 190 cm wzrostu.
Przed sezonem 2016-2017 został włączony do kadry pierwszego zespołu i 30 października 2016 roku zadebiutował w pierwszej drużynie w meczu przeciwko drużynie Genoa. W sierpniu 2017 roku Inter pozyskał Bastoniego, a następnie wypożyczył go do Atalanty, w której to drużynie grał dotychczas.
Przed sezonem 2018-2019 razem z Federico Dimarco i Jonathanem Biabianym trafił z Interu do Parmy gdzie został wypożyczony.
Bastoni regularnie otrzymuje powołania do młodzieżowych reprezentacji Włoch.