Filip Stanković urodził się 25 lutego 2002 roku w Rzymie i jest synem słynnego pomocnika Interu Mediolan i reprezentacji Serbii - Dejana Stankovicia.
Filip jest wychowankiem Akademii Interu i przeszedł kilka szczebli Akademii, w tym Primavery Interu, by jesienią 2020 roku zostać włączonym do pierwszej kadry Interu prowadzonej przez Antonio Conte jako czwarty bramkarz. To dało mu możliwość trenowania i uczenia się bramkarskiego rzemiosła od takich graczy jak Handandović, Ionut Radu czy Daniele Padelli.